HIMATIKA UHAMKA

14.1 Fungsi Beberapa Variabel

Notasi w merupakan variabel tak bebas f dan f dikatakan sebagai fungsi n variabel bebas X₁ sampai dengan X_j. X_n (variabel masukan fungsi) dan w (variabel keluaran fungsi).

Contoh:

Daerah Asal dan Daerah Hasil

• Daerah asal suatu fungsi dipandang sebagai himpunan terbesar sedemikian sehingga aturan yang mendefinisikan fungsi tersebut menghasilkan bilangan-bilangan riil, kecuali jika daerah asal tersebut ditentukan lain secara eksplit.
• Daerah hasil terdiri dari himpunan semua nilai keluaran untuk variabel-variabel tak bebasnya.

Grafik, Kurva Ketinggian, dan Kontur Fungsi Dua Variabel

Cara menggambar nilai-nilai fungsi f(x,y):

Menggambar dan memberi label untuk kurva pada daerah asal dimana bernilai konstan,
Menggambar permukaan z=f(x,y).

Fungsi Tiga Variabel

Definisi. Himpunan titik (x,y,z) di ruang di mana fungsi tiga variabel memiliki nilai konstan f(x,y,z) = c  disebut permukaan ketinggian f.

• Contoh himpunan terbuka di ruang di antaranya interior suatu bola, setengah ruang terbuka z>0, oktan pertama (di mana x, y, dan z seluruhnya positif) dan ruang itu sendiri.
• Contoh himpunan tertutup di ruang di antaranya garis, bidang, dan setengah ruang tertutup z lebih dari sama dengan 0 Permukaan bola pejal yang sebagian batasnya dihilangkan atau kubus pejal yang sebagian muka, rusuk atau titik sudutnya dihilangkan merupakan himpunan yang tidak terbuka dan tidak tertutup.

Penggambaran Grafik Komputer

Perangkat lunak penggambaran grafik tiga dimensi memungkinkan untuk menggambar grafik fungsi dua variabel.

Contoh:

Temperatur di bawah permukaan bumi w adalah suatu fungsi terhadap kedalaman di bawah permukaan x dan waktu dalam setahun t. Jika kita mengukur x dalam satuan ft dan t sebagai jumlah hari yang telah berlalu sejak hari yang diperkirakan permukaan mencapai temperatur tertinggi dalam setahun.

14.2 Limit dan Kekontinuan pada Dimensi yang Lebih Tinggi

Limit Fungsi Dua Variabel

Definisi. Suatu fungsi f(x,y) mendekati limit L sebagaimana (x,y) mendekati (x₀,y₀), dan dituliskan sebagai

Jika untuk setiap bilangan epsilon lebih dari 0 terdapat suatu bilangan yang sesuai delta lebih dari 0 sedemikian sehingga untuk semua (x,y) pada daerah hasil f.

 bilamana 

Pada definisi limit tersebut adalah radius suatu cakram yang berpusat di (x₀,y₀). Untuk semua titik (x,y) di dalam cakram, nilai-nilai fungsi f(x,y) terletak pada interval yang sesuai 

Kekontinuan

Definisi. Fungsi f(x,y) kontinu di titik (x₀,y₀) jika

Suatu fungsi dikatakan kontinu jika fungsi tersebut kontinu di setiap titik di daerah asalnya.

Uji Dua-Lintasan untuk Ketiadaan Limit

Jika suatu fungsi f(x,y) memiliki limit-limit yang berbeda di sepanjang dan lintasan yang berbeda pada daerah asal f ketika (x,y) mendekati (x_0,y₀) maka lim_{(x,y)->(x0,y0)} f(x.y) tidak ada.

Kekontinuan Komposisi

Jika f kontinu di (x_0,y₀)dan g adalah fungsi satu variabel yang kontinu di f (x_0,y₀)maka fungsi komposisi h = g komposisi f yang didefinisikan dengan h(x,y) = g(f(x,y)) kontinu di (x_0,y₀)

Sebagai contoh, fungsi komposisi

Kontinu di setiap titik (x,y).

Fungsi Lebih dari Dua Variabel

Definisi limit kekontinuan untuk fungsi dua variabel dan kesimpulan-kesimpulan tentang limit dan kekontinuan untuk penjumlahan, perkalian, pembagian, pangkat, dan komposisi seluruhnya diperluas untuk fungsi tiga atau lebih variabel. Fungsi-fungsi seperti

ln(x+y+z) dan 

kontinu pada masing-masing daerah asalnya, dan limit-limit seperti

Dengan P menyatakan titik (x,y,z) dapat diperoleh dengan substitusi langsung.