HIMATIKA UHAMKA

LOGIKA MATEMATIKA

KNOWLEDGE

1. Negasi (ingkaran) dilambangkan ~
2. Konjungsi dilambangkan V
3. Disjungsi dilambangkan
4. Implikasi dilambangkan=>
5. Biimplikasi dilambangkan<=>
6. Konvers adalah pendahulu dan pengikutnya diubah posisinya
7. Invers adalah pendahulu dan pengikutnya dinegasikan
8. Kontrapositif adalah pendahulu dan pengikutnya dinegasikan lalu diubah posisinya
9. Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar
10. Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah
11. Kontingensi adalah suatu pernyataan yang bernilai salah satunya benar dan sisanya salah.

KONTRAPOSISI

Disebut juga kontrapositif, pendahulu dan pengikut dari implikasi yang diketahui masing-masing dinegasikan dan selanjutnya ditukarkan tempatnya.

(a => b = (~b=>~a)

Contoh :

Jika Reno rajin belajar maka Reno naik kelas

~a = Reno tidak rajin belajar

~b = Reno tidak naik kelas

Kontraposisi dari implikasi ini adalah “Jika Reno tidak naik kelas maka Reno tidak rajin belajar”

Nilai kebenaran kontraposisi dari implikasi

Nilai kebenaran dari implikasi

Kesimpulan yang didapat adalah nilai kebenaran dari suatu implikasi sama dengan nilai kebenaran dari kontraposisinya.

KONTRADIKSI

Suatu pernyataan yang bernilai salah semua dalam setiap kemungkinannya, yang berarti kebalikan dari tautologi (bernilai benar semua).

Contoh :

Buktikan bahwa pernyataan (p → q) ↔ (p Ʌ –q) adalah sebuah kontradiksi

Nilai kebenaran konjungsi                                          

Nilai kebenaran biimplikasi

Maka :

CONTOH SOAL

• Buktikan bawah jumlah dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan genap

Asumsikan bahwa terdapat bilangan bulat ganjil a dan b. Maka terdapat bilangan bulat s dan t sedemikian sehingga

a = 2s + 1 dan b = 2t + 1

Jumlahkan a dan b diperoleh

     a + b           = (2s + 1) + (2t + 1)

            = 2 (s + t + 1)

Karena a + b berbentuk 2 kali bilangan bulat s + t + 1, maka a + b adalah genap.

• Buktikan bahwa kuadrat dari bilangan bulat ganjil adalah ganjil

Misalkan n adalah bilangan bulat ganjil

Maka n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat

Substitusikan n = 2k + 1 ke dalam n² diperoleh:

          n²           = (2k + 1)²

                = 4k²  + 4k + 1

            = 2(2k²  + 2k) + 1

Karena n² berbentuk bilangan bulat ganjil dengan 2k²  + 2k bilangan bulat, maka n² adalah ganjil.

LATIHAN SOAL

• Gunakan pembuktian kontradiksi untuk membuktikan bahwa jumlah bilangan irasional dan rasional adalah irasional

Gunakan pembuktian kontradiksi untuk membuktikan bahwa jumlah bilangan irasional dan rasional adalah irasional

Untuk semua bilangan real x dan y, jika x bilangan irasional dan y bilangan rasional maka x + y bilangan irasional

p = jika x bilangan irasional dan y bilangan rasional

q = maka x + y bilangan irasional

~(∀ x,y ∈ ℝ) (p → q)

(∃ x,y ∈ ℝ) (~(p → q)) = (∃ x,y ∈ ℝ) (p Ʌ ~q)

Terdapat x,y ∈ ℝ dimana (x irasional dan y rasional) dan (x+y rasional)

                   x + y         ∈ ℚ

           (x + y) – y ∈ ℚ             (PEMBUKTIAN BENAR)

                         x         ∈ ℚ

Kontradiksi = x rasional dan x irasional

• Tunjukkan bahwa perkalian dua bilangan ganjil adalah ganjil

Misal : bilangan ganjil pertama  = a

            bilangan ganjil kedua  = b

Maka,

        a.b           = (2k – 1) (2k – 1)                   Pembuktian :

            = 4k² – 2k – 2k + 1                 Untuk m = 1 , maka

            = 4k²   – 4k + 1                        4(m)+1

            = (4(k² – k) + 1)                      = 4(1)+1                                 

            = (4(m)+1)                   = 5

                      (PEMBUKTIAN BENAR)